Produit cartésien

Définition

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides.
Le produit cartésien de \(A\) par \(B\) est l'ensemble de couples `(a,b)`, où `a\inA` et `b\inB`.
On note cet ensemble : \(A×B\) et on le lit : "\(A\) croix \(B\)."

Exemple

L'ensemble des couples de coordonnées de points du plan dans un repère est noté \(\left\{ \left(x,y\right)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\right\}\). On note cet ensemble \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{2}\).

Propriété

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides.
Lorsque les ensembles \(A\) et \(B\) sont finis, on a : \(\text{Card}(A×B)=\text{Card}(A) × \text{Card}(B)\).

Exemple

Soit \(A = \{ \text A, \text R, \text D, \text V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 \}\) et \(B = \{\text{pique}, \text{cœur}, \text{carreau}, \text{trèfle} \}\).
Alors le produit cartésien de \(A\) par \(B\) contient \(52\) éléments :
\(A×B = \{ (\text A, \text{pique}), (\text R, \text{pique}), ... (2, \text{pique}), (A, \text{cœur}), ... (3, \text{trèfle}), (2, \text{trèfle}) \}\).